이진탐색트리(Binary Search Tree)

BST는 다음과 같은 속성을 만족시키는 이진 트리이다.

  • 각 노드에 값이 있다.

  • 값이 중복된 노드가 없다.

  • 노드의 왼쪽 서브트리에는 그 노드의 값보다 작은 값들을 지닌 노드들로 이루어져 있다.

  • 노드의 오른쪽 서브트리에는 그 노드의 값과 같거나 큰 값들을 지닌 노드들로 이루어져 있다.

  • 좌우 하위 트리는 각각이 다시 이진 탐색 트리여야 한다.

이진탐색트리를 inorder traversal 방식을 쓰며, 이진탐색트리 내에 있는 모든 값들을 정렬된 순서대로 읽을 수 있다. 데이터가 정렬되어있지 않다면 사용할 수 없지만, 이미 정렬되어있는 경우 매우 빠르게 데이터를 찾을 수 있다.

이진 탐색은 한 번 확인할 때마다 확인해야하는 원소의 개수가 절반씩 줄어든다는 점에서 시간 복잡도가 O(logN)이다.

이진 탐색 문제는 탐색 범위가 큰 상황에서의 탐색을 가정하는 문제가 많으며, 탐색 범위가 2000만을 넘어가는 경우에는 이진 탐색으로 접근하는 것을 권장한다.

검색(search)

  • 이진 탐색 트리에서 Key 값 x를 가진 노드를 검색하고자 할 때, 트리에 해당 노드가 존재하면 해당 노드를 리턴하고, 존재하지 않으면 NULL 리턴

  • 검색하고자 하는 값을 루트노드와 먼저 비교해 일치할 경우 루트노드 리턴

    • 불일치하고 검색하고자 하는 값이 루트노드의 값보다 작을 경우 왼쪽 서브트리에서 재귀적 검색

    • 불일치 하고 검색하고자 하는 값이 루트 노드의 값과 같거나 큰 경우 오른쪽 서브트리에서 재귀적 검색

C++

// cpp 코드
Node * search(Node * root, int key){
    if(root==NULL||root->key == key) return root;
    if(key<root->key)return search(root->left, key);
    else return search(root->right, key);
}

Python

# 반복문으로 구현
def binary_search_loop(array, tgt, start, end):
    while start <= end:
        mid = (start+end)//2
        if array[mid] == tgt:
            return mid
        elif array[mid] < tgt:
            end = mid - 1
        else:
            start = mid + 1

    return None``
def binary_search(array, tgt, start, end):
    if start > end:
        return None

    mid = (start+end) // 2
    if array[mid] == tgt:
        return mid
    elif array[mid] > tgt:
        return binary_search(array,tgt,start,mid-1)
    else:
        return binary_search(array, tgt, start+1, end)

삽입(insert)

  • 삽입을 하기 전에 검색을 수행한다.

  • 트리를 검색한 후 키와 일치하는 노드가 없으면 마지막 노드에서 키와 노드의 크기를 비교하여 왼쪽이나 오른쪽에 새로운 노드를 삽입한다.

Node * insert(Node * node,int key){
    if(node == NULL) return new_node(key);

    if(node->key>key)node->left=insert(node->left,key);
    else node->right=insert(node->right,key);

    return node;
}

삭제(delete)

삭제하려는 노드의 자식 수에 따라서

  • 단말노드 삭제 : 해당 노드를 단순히 삭제한다.

  • 자식노드가 1개인 노드 삭제 : 해당 노드를 삭제하고 그 위치에 해당 노드의 자식노드를 대입한다.

  • 자식노드가 2개인 노드 삭제 : 삭제하고자 하는 노드의 값을 해당 노드의 왼쪽 서브트리에서 가장 큰값으로 대체하거나, 오른쪽 서브트리에서 가장 작은 값으로 대체한 뒤, 해당 노드(왼쪽서브트리에서 가장 큰 값을 가지는 노드 또는 오른쪽 서브트리에서 가장 작은 값을 가지는 노드)를 삭제한다.

Node * min(Node * node){
    Node * p = node;

    // 가장 왼쪽 단말 노드로 이동
    while (p->left != NULL)
        p = p->left;

    return p;
}

Node * delete(Node * root, int key){
    Node * tmp = NULL;

    if (root == NULL) return root; // 순환 멈춰주는 부분(basecase)

    if (key < root->key)
        root->left = delete(root->left, key);
    else if (key > root->key)
        root->right = delete(root->right, key);
    else // key == root->key
    {
        // 1. 오른쪽 자식 노드가 있을 때
        if (root->left == NULL){
            tmp = root->right;
            free(root);
            return tmp;
        }else if (root->right == NULL){
            //2. 왼쪽 자식 노드가 있을 때
            tmp = root->left;
            free(root);
            return tmp;
        }

        // 자식노드가 두개 일때
        tmp = min(root->right);
        // 루트 키 값을 변경해주고
        root->key = tmp->key;
        // key값을 찾아서 삭제한다.
        root->right = delete(root->right, tmp->key);
    }
    return root;
}
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