다익스트라 알고리즘은 시작점으로 부터 나머지 정점까지 최단거리를 구할 때 사용한다. 주로 네트워크 경로 설계에 많이 적용된다.
간선에 가중치가 있는 그래프에서 1:N 최단거리를 구하는 알고리즘이다. 다익스트라 알고리즘은 너비우선탐색(BFS)을 기본으로 한다. 이때 가중치는 음수값을 갖지 않는다.
다익스트라 알고리즘은 각각의 정점에 대해서 정점 s에서 정점 v까지의 최단 거리를 d[v]에 저장하면서 탐색한다. 알고리즘 시작 시에 d[s] = 0이고, s가 아닌 다른 모든 정점에 대해서는 d[v] = ∞ 로 놓아 다른 정점에 대해서는 아직 최단 경로를 모른다는 것을 표시한다. 알고리즘이 종료되었을 때 d[v]는 s에서 v까지의 최단 경로의 거리를 나타내게 되고, 만약 경로가 존재하지 않으면 거리는 여전히 무한대로 남는다.
다익스트라 알고리즘은 다음과 같다.G[A][B]는 A와 B 사이의 거리라고 하자.
도착 노드에 저장된 값이 A로부터의 최단거리이다. 만약 도착노드의 값이 INF라면, 중간에 경로가 끊긴 것을 의미한다.
기존의 d(z)가 75였는데 탐색 과정에서 d(u)+e = 60으로 길이가 더 짧을 때, 노드와 엣지의 정보를 업데이트 해주는 것을 말한다.
Copy #include <stdio.h>
#include <limits.h> //INT_MAX
#define V 9
typedef enum { false , true } bool ;
// 최단 거리를 찾는 함수
int min_distance ( int dist [] , bool visited [] )
{
// 자료형의 최대값으로 min값 설정
int min = INT_MAX , min_index = 0 ;
for ( int v = 0 ; v < V; v ++ ){
//visited[v]가 false이면서 dist[v]가 최소값보다 적은 경우
if (visited[v] == false && dist[v] <= min){
min = dist[v];
min_index = v;
}
}
return min_index;
}
void print_path ( int parent [] , int j){
if (parent[j] == - 1 )
return ;
print_path(parent , parent[j]) ;
printf( " %d " , j) ;
}
// dist 배열을 출력해주는 함수
void print_distance ( int dist [] , int n , int parent [] )
{
int src = 0 ;
printf( "Vertex\t시작 정점으로부터 거리\t경로\n" ) ;
for ( int i = 0 ; i < V; i ++ ){
printf( "\n %d -> %d \t\t %d \t\t %d " ,
src , i , dist[i] , src) ;
print_path(parent , i) ;
}
}
// 다익스트라 함수
void dijkstra ( int graph[V][V] , int src)
{
// dist배열은 최단거리를 저장하는 배열이다. 즉, 결과값
// src에서 정점 i까지 가는 거리
int dist[V];
bool visited[V]; //방문했는지 기록하는 배열
int parent[V]; // 부모 노드를 기억할 배열
// dist배열은 자료형의 최대값, visited배열은 false 로 초기화
parent[ 0 ] = - 1 ;
for ( int i = 0 ; i < V; i ++ ){
dist[i] = INT_MAX;
visited[i] = false ;
}
// 시작점(src)에서 자기자신의 거리는 0이다.
dist[src] = 0 ;
// 모든 정점에서 최단거리 찾기
for ( int count = 0 ; count < V - 1 ; count ++ ){
int u = min_distance(dist , visited) ; // 최소거리의 정점을 저장한다. u는 count가 0일때 src와 같다.
visited[u] = true ; //방문했음을 표시한다.
// 값을 update해준다.
for ( int v = 0 ; v < V; v ++ ){
// visited이 false이면서, u->v로의 엣지가 있고
// 엣지를 더한 값이 현재 distance보다 작은 경우
if ( ! visited[v] && graph[u][v] && dist[u] != INT_MAX
&& dist[u] + graph[u][v] < dist[v]){
parent[v] = u;
dist[v] = dist[u] + graph[u][v];
}
}
}
// 시작점으로 부터 각 정점의 최단거리 출력
print_distance(dist , V , parent) ;
}
int main ()
{
int graph[V][V] = {
{ 0 , 4 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 8 , 0 } ,
{ 5 , 0 , 8 , 0 , 0 , 0 , 0 , 11 , 0 } ,
{ 0 , 8 , 0 , 7 , 0 , 4 , 0 , 0 , 2 } ,
{ 0 , 0 , 7 , 0 , 9 , 14 , 0 , 0 , 0 } ,
{ 0 , 0 , 0 , 9 , 0 , 10 , 0 , 0 , 0 } ,
{ 0 , 0 , 4 , 14 , 10 , 0 , 2 , 0 , 0 } ,
{ 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 2 , 0 , 1 , 6 } ,
{ 0 , 12 , 0 , 0 , 0 , 0 , 1 , 0 , 7 } ,
{ 0 , 0 , 2 , 0 , 0 , 0 , 6 , 7 , 0 }
};
dijkstra(graph , 0 ) ;
return 0 ;
} 최소힙(minheap)은 우선순위큐로 아직 포함되지 않은 정점으로 부터 최소 거리 정점을 가져온다.
Copy #include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <limits.h>
typedef struct node{
int dest; //목적노드
int weight; //가중치
struct node * next;
} Node;
typedef struct list{
Node * head;
}List;
typedef struct graph{
int V;
List * array;
}Graph;
Node * new_node ( int dest , int weight){
Node * new = (Node * ) malloc( sizeof (Node)) ;
new -> dest = dest;
new -> weight = weight;
new -> next = NULL ;
return new;
}
Graph * create_graph ( int V){
Graph * g = (Graph * ) malloc( sizeof (Graph)) ;
g -> V = V;
g -> array = (List * ) malloc(V *sizeof (List)) ;
for ( int i = 0 ;i < V;i ++ ){
g -> array[i] . head = NULL ;
}
return g;
}
void add_edge (Graph * g , int src , int dest , int weight){
Node * new = new_node(dest , weight) ;
new -> next = g -> array[src] . head;
g -> array[src] . head = new;
new = new_node(src , weight) ;
new -> next = g -> array[dest] . head;
g -> array[dest] . head = new;
}
typedef struct hnode{
int v;
int dis;
}HNode;
typedef struct heap{
int size;
int capacity;
int * pos; //decrease key()에 필요하다.
HNode ** array;
}Heap;
HNode * new_hnode ( int v , int dis){
HNode * new = (HNode * ) malloc( sizeof (HNode)) ;
new -> v = v;
new -> dis = dis;
return new;
}
Heap * create_heap ( int capacity){
Heap * heap = (Heap * ) malloc( sizeof (Heap)) ;
heap -> pos = ( int* ) malloc(capacity *sizeof ( int )) ;
heap -> size = 0 ;
heap -> capacity = capacity;
heap -> array = (HNode ** ) malloc(capacity *sizeof (HNode * )) ;
return heap;
}
void swap_node (HNode ** a , HNode ** b){
HNode * tmp =* a;
* a =* b;
* b = tmp;
}
void heapify (Heap * heap , int i){
int min , left , right;
min = i;
left = i * 2 + 1 ;
right = i * 2 + 2 ;
if (left < heap -> size && ( heap -> array[left] -> dis < heap -> array[min] -> dis))min = left;
if (right < heap -> size && heap -> array[right] -> dis < heap -> array[min] -> dis)min = right;
if (min != i){
HNode * smallest = heap -> array[min];
HNode * inode = heap -> array[i];
heap -> pos[ smallest -> v] = i;
heap -> pos[ inode -> v] = min;
swap_node( & heap -> array[min] , & heap -> array[i]) ;
heapify(heap , min) ;
}
}
int is_empty (Heap * h){
return h -> size == 0 ;
}
HNode * delete (Heap * h){
if ( is_empty(h) ) return NULL ;
HNode * root = h -> array[ 0 ];
HNode * last = h -> array[ h -> size - 1 ];
h -> array[ 0 ] = last;
h -> pos[ root -> v] = h -> size - 1 ;
h -> pos[ last -> v] = 0 ;
-- h -> size;
heapify(h , 0 ) ;
return root;
}
void decrease_key (Heap * h , int v , int dis){
// heap array의 정점 v에 대한 index
int i = h -> pos[v];
h -> array[i] -> dis = dis; //distance update
while (i && ( h -> array[i] -> dis < h -> array[(i - 1 ) / 2 ] -> dis)){
h -> pos[ h -> array[i] -> v] = (i - 1 ) / 2 ;
h -> pos[ h -> array[(i - 1 ) / 2 ] -> v] = i;
swap_node( & h -> array[i] , & h -> array[(i - 1 ) / 2 ]) ;
i = (i - 1 ) / 2 ;
}
}
int is_min (Heap * h , int v){
if ( h -> pos[v] < h -> size) return 1 ;
else return 0 ;
}
void print_array ( int dis [] , int n){
printf( "정점\t\t시작노드로부터거리\n" ) ;
for ( int i = 0 ;i < n;i ++ )
printf( " %d \t\t\t %d \n" , i , dis[i]) ;
}
void dijkstra (Graph * g , int src){
int V = g -> V;
int dis[V];
Heap * heap = create_heap(V) ;
for ( int i = 0 ;i < V;i ++ ){
dis[i] = INT_MAX;
heap -> array[i] = new_hnode(i , dis[i]) ;
heap -> pos[i] = i;
}
// 출발점의 거리를 0으로 만듦
heap -> array[src] = new_hnode(src , dis[src]) ;
heap -> pos[src] = src;
dis[src] = 0 ;
decrease_key(heap , src , dis[src]) ;
heap -> size = V;
while ( ! is_empty(heap) ){
HNode * min = delete(heap) ;
int u = min -> v;
Node * trav = g -> array[u] . head;
while (trav != NULL ){
int v = trav -> dest;
if ( is_min(heap , v) && dis[u] != INT_MAX && trav -> weight + dis[u] < dis[v]){
dis[v] = dis[u] + trav -> weight;
decrease_key(heap , v , dis[v]) ;
}
trav = trav -> next;
}
}
print_array(dis , V) ;
}
int main (){
int V = 9 ;
Graph * graph = create_graph(V) ;
add_edge(graph , 0 , 1 , 4 ) ;
add_edge(graph , 0 , 7 , 8 ) ;
add_edge(graph , 1 , 2 , 8 ) ;
add_edge(graph , 1 , 7 , 11 ) ;
add_edge(graph , 2 , 3 , 7 ) ;
add_edge(graph , 2 , 8 , 2 ) ;
add_edge(graph , 2 , 5 , 4 ) ;
add_edge(graph , 3 , 4 , 9 ) ;
add_edge(graph , 3 , 5 , 14 ) ;
add_edge(graph , 4 , 5 , 10 ) ;
add_edge(graph , 5 , 6 , 2 ) ;
add_edge(graph , 6 , 7 , 1 ) ;
add_edge(graph , 6 , 8 , 6 ) ;
add_edge(graph , 7 , 8 , 7 ) ;
dijkstra(graph , 0 ) ;
return 0 ;
} 
